Включени теми по Математика за 11. клас
III. Функции. Непрекъснатост и диференцируемост
3.1. Функция. Начини на задаване.
3.2. Граница на функция.
3.3. Теореми за граница на функция.
3.4. Основни граници.
3.5. Непрекъснатост.
3.6. Теореми за непрекъснатост.
3.7. Производна на функция.
3.8. Връзка между непрекъснатост и диференцируемост.
Функции.
Функция в математиката е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат реални числа, но също и елементи на всяко друго множество. Пример за функция е f(x)=2x – функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпоставя 10, което се изписва като f(5)=10.
- Понятията аргумент и функция - Стойността на x се нарича аргумент, а стойността на y е функция.
- Дефиниционно множество ДМ – Стойностите, които може да заема аргумента, се наричат дефиниционно множество ДМ или дефиниционна област на функцията.
- Функционално множество (множество от стойностите на функцията) ФМ – Множеството от стойности, които може да заема y, се нарича функционално множество ФМ. Множеството ФМ е интервалът от числа, намиращи се между най-малката стойност (НМС) и най-голямата стойност (НГС), т.е.: ФМ принадлежи [НМС; НГС].
- Кога е определена една функция – За да бъде определена една функция, трябва да са дадени:
- Дефиниционното множество ДМ.
- Правилото f, което съпоставя на всяко x принадлежащо на ДМ точно едно определено y принадлежащо на ФМ.
- Дефиниционно множество на някои функции
- Дробна функция – Една дроб има смисъл, когато знаменателят ѝ е различен от 0. Затова, ако y =а/b, то ДМ: b ≠ 0.
- Ирационална функция.
- Показателна функция.
- Логаритмична функция.
- Тригонометрични функции.
- Начини за задаване на функция:
- Таблично – Задава се чрез стойностите на наредената двойка (x, y), където y = f (x). Таблицата обикновено се попълва опитно или чрез наблюдение, т.е. в даденото правило задаваме стойности на аргумента x и получаваме стойностите на функцията f (x).
- Аналитично – Когато правилото f е зададено чрез формула.
- Ако нищо не е казано за дефиниционната област ДМ на функцията y = f(x), се смята, че тя се състои от всички стойности на аргумента x, за които могат да се извършат действия посочени във формулата.
- Словесно – Когато правилото f, което съпоставя на всяко x точно определено y, е зададено описателно.
Например: На всяко x съпоставяме най-голямото ненадминаващо го цяло число, т.е. при x = 1,4 имаме y = 1, при x = – 1,4 имаме y = – 2. - Графично – Графика на функцията y = f(x) се нарича множеството от всички точки с координати (x, y=f(x)), където x € ДМ, определени в правоъгълна координатна система.
Всяка функция има графика.
Една функция y = f(x), където x € ДМ, се нарича константа, ако за всяка стойност на x функцията приема една и съща стойност и се записва f(x) = const. В зависимост от дефиниционното множество графиката на константната функция f(x) = const е точка, права или отсечка.
- Точки лежащи на графиката на функция – Нека да е дадена точката M(x1;y1) и функцията y = f(x). Тази точка ще лежи на графиката на функцията, ако е изпълнено равенството y1 = f (x1).
- Сложна функция – Нека да е дадена функцията y = f(u), където u = f(x), тогава функцията y = f(f(x)), се нарича сложна (съставна) или функция от функция.