Граница на функция
Граница в математиката е стойността, до която дадена функция или числова редица се доближава, когато аргументът се доближава до някаква стойност. Границите са важна част от математическия анализ и се използват за определяне на непрекъснатост, производни и интеграли.
Лява и дясна граница на функция
Ако функциите f(x) и g(x) имат граница при x → a, и тя е lim f (x) = A и lim g(x) = B x →a , то
Теорема 1: lim [f (x) ± g(x)] A ±B (1)
Теорема 2 : lim [f (x). g(x)] A .B (2)
Следствие 1: lim [k .f (x)] k .A , където k е константа; (3)
Следствие 2: lim [ f(x )]n = An , където n е цяло положително число; (4)
Теорема 3: lim f(x )/ g(x ) = B/A , където B≠0. (5)
Ако някое аритметично действие няма стойност, то резултатът наричаме неоп- ределеност. При граници на функции имаме няколко вида неопределеност:
♦ Неопределеност от вида 0 /0 : Тя се получава от (5), ако lim f (x) = 0, lim g ( x) = 0 x →a
♦ Неопределеност от вида ∞ /∞ : Тя се получава от (5), ако lim f( х) = ∞ , lim g( х) = ∞ x → a
♦ Неопределеност от вида ∞ – ∞: Тя се получава от (1), ако lim f( х) = + ∞, lim g( х) = + ∞, то [ f(x )+ g(x )] = + ∞ , но [f (x) - g(x)] може, както да съществува, така и да не съществува.
♦ Неопределеност от вида 0.∞: Тя се по- лучава от (2), ако lim f (x) = 0, lim g ( x) = ∞ x → a